MODUL LOGARITMA

A. Pengertian Logaritma

Perhatikan:

3³ = 27 Þ ³log27 = 3

Dari uraian diatas dapat dikemukakan bila logaritma dari b untuk bilangan pokok a adalah c, maka a^c = b, dapat ditulis:

^alog b = c Þ a^c = b

^alog b = c dibaca logaritma dari bilangan b dengan basis a, dengan a, b > 0

a = bilangan pokok (basis)

b = bilangan yang dicari logaritmanya (numerus)

c = hasil logaritma b dengan basis a

Dalam bilangan pokok atau basis logaritma adalah 10, maka bilangan tersebut tidak ditulis sehingga log a artinya ¹⁰log a. Diketahui bahwa 2³ = 8 disebut bilangan berpangkat 2; 2 disebut bilangan dasar (basis), 3 disebut pangkat (eksponen), dan 8 disebut hasil perpangkatan.

Contoh lainnya adalah:

a. 2⁴ = 16

b. 3⁵ = 243

c. 10⁴ = 10000

Karena 2³ = 8 maka bias dikatakan bahwa 3 adalah logaritma 2 dari 8 yang ditulis ²log 8 = 3. Secara umum ditulis sebagai berikut:

a^b = c Û ^alog c = b, a > 0, a ¹ 1 dan c > 0

Contoh:

Nyatakan dalam bentuk logaritma!

a. 2⁵ = 32

b. 3⁴ = 81

Jawab:

a. 2⁵ = 32 Û ²log 32 = 5

b. 3⁴ = 81 Û ³log 81 = 4

Tentukan nilai dari:

a. ⁴log 64

b. ²log 128

c. ⁵log 125

B. Operasi pada Logaritma

Operasi bilangan logaritma berkaitan dengan sifat-sifat logaritma

1. Sifat – sifat Logaritma

Sifat-sifat logaritma digunakan untuk membantu mempermudah perhitungan yang menggunakan bentuk logaritma.

a. Sifat 1

Setiap bilangan tidak sama dengan nol, apabila dipangkatkan nol, apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu.

Jadi, a⁰ = 1. Bentuk logaritma dari dari bilangan berpangkat tersebut adalah ^alog 1= 0

Contoh

⁵log 1 = 0 ^0,5log 1 = 0

b. Sifat 2

Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, a¹ = a. Bentuk logaritma dari bilangan berpangkat tersebut adalah ^alog a = 1

Contoh

⁴log 4 = 1 ²log 2 = 1

c. Sifat 3 : ^alog xy = ^alog x + ^alog y

Bukti:

^alog x = m maka diperoleh a^m = x

^alog y = n maka diperoleh aⁿ = y

^alog xy = Tanah maka diperoleh a^t = xy

Diperoleh:

xy = a^m . aⁿ

a^t = a^m+n

Tanah = m + n Þ ^alog x + ^alog y

d. Sifat 4: ^alog = ^alog x - ^alog y

Bukti:

Misal: ^alog x = m Þ a^m = x

^blog y = n Þ aⁿ = y

^alog = t Þ a^t =

Diperoleh:

a^t = a^m-n

t = m-n Þ ^alog = ^alog x - ^alog y

e. Sifat 5: ^alog xⁿ = n . ^alog x

Bukti:

^alog xⁿ = ^alog (x . x . x …x)

= ^alog x + ^alog x + ….. ^alog x

= n . ^alog x

f. Sifat 6 : ^alog ^alog b

Bukti:

, sehingga

Dari sifat 5 maka ^alog ^alog x = ^alog x

g. Sifat 7 : ^alog = - ^alog x

Bukti:

^alog = ^alog 1 - ^alog x

= 0 - ^alog x

= - ^alog x

h. Sifat 8 : ^alog b . ^blog c = ^alog c

Bukti:

^alog b = m maka diperoleh a^m= b

^blog c = n maka diperoleh bⁿ = c

Diperoleh:

c = bⁿ

c = (a^m)ⁿ

c = a^mn

^alog c = ^alog a^mn

^alog c = m . n

^alog c = ^alog b . ^blog c

i. Sifat 9 : ^blog c =

Bukti:

^blog c =x maka diperoleh b^x = c

Diperoleh

b^x = c

^alog b^x= ^alog c

x . ^alog b = ^alog c

x =

j. Sifat 10 :

Bukti:

Agar kalian lebih memahami sifat-sifat logaritma, maka perhatikan!

^alog 1= 0 ^alog = - ^alog x

^alog a = 1 ^alog b . ^blog c = ^alog c

^alog xy = ^alog x + ^alog y ^alog b x ^blog a = 1

^alog = ^alog x - ^alog y ^blog c =

^alog xⁿ = n . ^alog x

^alog ^alog b

contoh:

jika log 2 = p, dan log 3 = q, tentukan log 0,75!

Jawab:

log 0,75 = log = log = log 3 – log 4 = log 3 – log (2²)

= log 3 – 2 log 2 = q - 2p

LATIHAN SOAL

1. Tentukanlah nilai dari:

a. ²log 64 c. ¹⁰log 100000

b. ⁴log 64 d. ⁶log 216

2. Ubahlah kedalam bentuk logaritma!

a. 5² = 25 c. 4⁴ = 256

b. 3³= 27 d. 4³ = 64

3. Ubahlah kedalam bentuk perpangkatan!

a. ⁵log 25 = 2 c. ³log 243 = 5

b. ⁷log 343 = 3 d. ²log 32 = 5

4. Sederhanakan ³log 27 + ³log 3 – ³log 9!

5. Jika ²log 3 = p, tentukan!

a. ⁸log 9 b. ²log

KUNCI JAWABAN

1. a. ²log 64 = 6 sebab 2⁶ = 64

b. ⁴log 64 = 3 sebab 4³ = 64

c. ¹⁰log 100000 = 5 sebab 10⁵ = 100000

d. ⁶log 216 = 3 sebab 6³ = 216

2. a. 5² = 25 Û ⁵log 25 = 2

b. 3³= 27 Û ³log 27 = 3

c. 4⁴ = 256 Û ⁴log 256 = 4

d. 4³ = 64 Û ⁴log 64 = 3

3. a. ⁵log 25 = 2 Û 5²

b. ⁷log 343 = 3 Û 7³

c. ³log 243 = 5 Û 3⁵

d. ²log 32 = 5 Û 2⁵

4. ³log 27 + ³log 3 – ³log 9 = ³log

= ³log 9

= 2

5. ²log 3 =

a. ⁸log 9 = =

c. ²log =

MODUL BILANGAN REAL

A. Pengertian Bilangan Real

Bilangan real adalah gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional. Dalam matematika, bilangan real sering dilambangkan dengan huruf R. Bilangan real tersusun dari bilangan-bilangan lainnyan yaitu sebagai berikut:

1. Bilangan Asli

Adalah suatu bilangan yang diawali dengan angka 1. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf A, atau ditulis dalam bentuk A= {1, 2, 3, 4,…} apabila terdapat dua bilangan asli , misalnya a dan b, maka berlaku tiga keadaan, yaitu: a>b, a=b, dan a<b

2. Bilangan Cacah

Adalah gabungan antara bilangan asli dan nol. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf C, atau dapat ditulis dalam bentuk C= {0, 1, 2, 3, 4,…} bilangan nol pada bilangan cacah diartikan sebagai banyaknya anggota suatu himpunan kosong, yaitu n (Æ) = 0

3. Bilangan Bulat

Adalah gabungan antara bilangan cacah dan bilangan negative. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B, atau ditulis dalam bentuk B={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}bilangan bulat terdiri dari bilangan negative, bilangan nol, dan bilangan positif.

4. Bilangan Rasional

Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dengan , dengan a, b Î B dan b¹0 serta b bukan factor dari a. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf Q atau ditulis dalam bentuk Q= { ça, b Î B,dan b¹0}bilangan a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Contoh

0,136136136… adalah bilangan rasional

Bukti

x = 0,136136…

1000x = 136,136136…

-999x = -136

x =

Jadi 0,136136136… bilangan rasional sama dengan

5. Bilangan Irasional

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai dengana, b Î B dan b¹0. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf I. Contoh: e= 2,718281828, log 7= 0,84509804, = 1,414213562

B. Operasi pada Bilangan Bulat

Sifat-sifat operasi pada bilangan bulat sebagai berikut:

Operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat

a. Tertutup

Untuk setiap a, b Î B didapat c Î B, akan berlaku a+b = c

b. Komutatif

Untuk setiap a, b Î B akan berlaku a+b = b+a

c. Assosiatif

Untuk setiap a, b Î B akan berlaku (a+b)+c = a+(b+c)

d. Elemen identitas

Elemen identitas dari penjumlahan adalah 0, sehingga setiap a Î B akan berlaku a+0 = 0+a = a

e. Invers Tambah (lawan)

Untuk setiap a Î B ada invers tambah, yaitu –a, sehingga berlaku a+(-a)=(-a)+a=0

Operasi pengurangan pada himpunan bil.bulat memiliki sifat tertutup.

Contoh: -6-(-8)=-6+8=2 dengan -6, -8, 2 Î B

Operasi perkalian pada himpunan bil. Bulat

a. Tertutup

Untuk setiap a, b Î B didapat c Î B, akan berlaku a x b = c

b. Komutatif

Untuk setiap a, b Î B akan berlaku a x b = b x a

c. Assosiatif

Untuk setiap a, b, c Î B akan berlaku (axb)xc = a x (b x c)

d. Elemen identitas

Untuk Elemen identitas perkalian adalah 1, sehingga setiap a Î B akan berlaku ax1 = 1xa = a

e. Distributif terhadap penjualan

Untuk setiap a, b, c Î B berlaku a x (b+c)=(axb)+(axc)=0

f. Distributif terhadap pengurangan

Untuk setiap a, b, c Î B berlaku a x (b-c)=(axb)-(axc)=0

g. Elemen invers

Untuk setiap a ¹ 0 mempunyai balikan perkalian, yaitu , yang memenuhi: a . = 1

Contoh:

3 x (-2) = -6, dengan 3, -2, -6 Î B
6 x (-5) = (-5) x 6

-30 = -30

5 x (8-4) =(5 x 8) – (5 x 4)

= 40 – 20 = 20

Operasi pembagian pada himpunan bil. Bulat, tidak memiliki sifat-sifat tertentu.

Contoh: a, b, c Î B, b factor dari a dan b¹0, jika berlaku a : b = c, maka a = b x c

C. Operasi pada Bilangan Pecahan

Sifat-sifat opersi pada bilangan pecahan antara lain:

Penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan, berlaku

Jika dan adalah sebuah bilangan pecahan, maka

Contoh:

Hitunglah!

Perkalian dan pembagian pada bilangan pecahan

Jika dan adalah sebuah bilangan pecahan, maka berlaku dan

Contoh:

b. 8 :

D. Konversi Bilangan

Sebuah bilangan pecahan dapat diubah ke bentuk persen, pecahan decimal, atau sebaliknya.

a) Mengubah pecahan biasa ke pecahan decimal

Untuk mengubah pecahan biasa ke bentuk pecahan decimal adalah dengan cara :

1. Dengan mengubah penyebutnya menjadi 10 atau 1000 atau perpangkatan sepuluh lainya

Contoh:

2. Dengan pembagian berulang

Contoh:

Ubahlah kedalam pecahan decimal

Jawab:

= 0,3333…

b) Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen

Contoh:

c) Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan decimal

Contoh :

20%=

Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan decimal

25% =

E. Perbandingan, Skala, dan Persen

Perbandingan

Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan. Symbol yang digunakan untuk menyatakan perbandingan adalah “:” atau bias pula dengan pecahan biasa.

1. Perbandingan senilai

Bentuk umum:

atau

Jika panjang PQ = panjang QR = panjang RS = 1satuan panjang, maka perbandingan panjang PQ terhadap panjang PS ditulis atau PQ:PS adalah = atau PQ :Ps =1:3

Jadi perbandingan panjang PR terhadap PS adalah PR = 2 satuan dan PS = 3 satuan, PR :PS =2:3

2. Perbandingan berbalik nilai

Bentuk umum:

atau

Contoh:

Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari, maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?

Jawab:

Jika 4 orang tukang (T₁) dapat menyelesaikan 20 hari (H₁), maka untuk selesai selama 2 hari (H₂) harus mempekerjakan lebih dari 4 orang

T₂ = 20 x

= 40

jadi, untuk selesai selama 2 hari, harus mempekerjakan 40 orang tukang.

Skala

Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya. Suatu skala bias merupakan pembesaran atau pengecilan dari ukuran sesungguhnya.

1. Skala Pembesaran

Contoh:

Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 5 cm. jika jarak sesungguhnya adalah 50 km, berapakah skala kota A ke kota B?

Jawab:

Perbandingan jarak kota A ke kota B pada peta dengan jarak kota A ke kota B sesungguhnya ditulis a : b, misalnya:

a : b = 5 cm : 50 km

= 5 cm : 5.000.000 cm

= 1 : 1.000.000

jadi skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000

2. Skala Pengecilan

Contoh

Panjang sebuah mobil jenis sedan adalah 3,5 m. berapakah panjang sedan pada layar TV jika skalanya 1 : 50 ?

Jawab

3,5 m = 350 cm

misal panjang sedan pada layar TV adalah x cm maka:

x =

x = 7

jadi panjang mobil pada layar adalah 7 cm

Persen

Persen (%) berarti perseratus; 1 %= . Jadi persen merupakan bentuk lain dari perbandingan yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100. Biasanya persen digunakan untuk menyatakan perbandingan antara dua persen. Misalnya, 7 lusin adalah 50% dari 14 lusin.

Contoh

Banyaknya semen pada suatu adonan dengan pasir hanya 10%. Jika semen itu sebanyak 5 kg, berapa kilogramkah pasir dalam adonan tersebut?

Jawab

Adonan terdiri atas pasir dan semen = 100%

Persentase pasir = persentase adonan dan – persentase semen

= 100% - 10%

= 90%

banyaknya pasir = 5 x = 45 Jadi banyaknya pasir 45 kg

Penerapan bilangan real dalam menyelesaikan permasalahan

Contoh

Ahmad memawa uang Rp. 4.000.000,00 lalu dari uang tersebut diberikan kepada Anis dan dari sisanya diinfakkan. Tentukan sisa uang yang dibawa Ahmad!

Jawab

Uang Ahmad Rp. 4.000.000,00 x = Rp. 3.000.000,00

Uang sisa = Rp 4.000.000,00 – Rp. 3.000.000,00 = Rp. 1.000.000,00

Uang diinfakkan = dari sisa = Rp.1.200.000,00 x = Rp. 100.000,00

Jadi sisa uang yang dibawa Ahmad adalah Rp. 1.000.000,00 – Rp. 100.000,00 = Rp. 900.000,00

LATIHAN

Pilih salah satu jawaban yang benar!

1. Yang termasuk bilangan rasional adalah…

a. 0 c. 2

b. 1 d.

2. Bentuk sederhana dari untuk b ¹ 0 dan q ¹ 0 adalah…

a. c.

b. d.

3. Bilangan pecahan dalam bentuk persen sama dengan…

a. 20% c. 40%

b. 30% d. 50%

4. Nilai 0,125 dari Rp. 100.000.000,00 adalah…

a. Rp.6.500.000,00 c. Rp.12.500.000,00

b. Rp.10.500.000,00 d. Rp.15.000.000,00

5. Pak Hery membeli sepasang sepatu, setelah harganya dipotong 20% ia membayar sebesar Rp.48.000,00. harga sepatu sebelum mendapat potongan harga…

a. Rp.57.600,00 c. Rp.72.000,00

b. Rp.60.000,00 d. Rp.86.000,00

Uraian

1. Hitunglah operasi-operasi bilangan berikut ini

a. c. e.

b. d.

2. Hitunglah operasi-operasi bilangan berikut ini!

a. c.

b. d.

3. Tentukan nilai y dari bentuk aljabar berikut ini!

a. x c.

4. Irfan mempunyai uang sebesar Rp.52.000.000,00 dan 2,5% untuk zakat hartanya. Apabila sisa uang tersebut dibagikan kepada tiga adiknya, adik pertama bagian, bagian untuk adik yang kedua, dan bagian untuk adik yang ketiga. Berapakah sisa uang Irfan?

5. Tulislah pecahan dibawah ini kedalam bentuk persen!

a. b.

6. Tulislah bentuk decimal dibawah ini kedalam bentuk pecahan dan persen!

a. 0,30 c. 0,444…

b. 6,20 d. 0,425…

7. Tulislah bentuk persen dibawah ini kedalam bentuk pecahan dan decimal!

a. 28% b.

8. Nyatakan setiap perbandingan berikut ini kedalam bentuk yang paling sederhana!

a. 2 km terhadap 10.000 m c. 0,05 mm terhadap 50 cm

b. 6 jam terhadap 50.000 detik d. 40 dolar terhadap Rp 12.000,00

9. Suatu persegi panjang memiliki perbandingan panjang dan lebar 4 : 3. Apabila lebarnya 24cm, tentukan panjang persegi panjang tersebut!

10. Tentukanlah harga (nilai) satuan dari setiap soal berikut ini!

a. 6 kg cabai keriting harganya Rp 57.000,00

b. 20 sak semen harganya Rp 540.000,00

c. 15 kg apel merah harganya Rp 120.000,00

d. 62 buah mi instant harganya Rp 55.800,00

MODUL PANGKAT RASIONAL DAN BENTUK AKAR

A. Bilangan Berpangkat

Pangkat bulat positif

Pemangkatan suatu bilangan bulat dengan pangkat positif dapat diperoleh dengan perkalian berulangdari bilangan bulat yang sama.

Contoh:

6²= 6 x 6

15⁴ = 15 x15 x 15 x 15

(-3)²= (-3) x (-3)

a⁵ = a x a x a x a x a

b⁵ = b x b x b x b x b

Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut: aⁿ = a x a x a x a…x a

n factor

Tentukan arti pemangkatan bilangan – bilangan berikut ini

a. (-8)⁴ b. (5)⁵ c. ( )³

Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif

a. Sifat perkalian bilangan berpangkat

Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat maka perkalian pada bilangan berpangkat akan berlaku a^bx a^c = a^b+c

b. Sifat pembagian bilangan berpangkat

Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat maka pembagian pada bilangan berpangkat akan berlaku a^b: a^c = a^b-c

c. Sifat pangkat dari bilangan berpangkat

Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat maka perpangkatan pada bilangan berpangkat akan berlaku (a^b)^c = a^bxc

d. Sifat pangkat dari perkalian bilangan

Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat positif, maka pangkat dari perkalian bilangan akan berlaku (a x b)^c= a^c x b^c

e. Sifat pangkat dari pembagian bilangan

Untuk a Î R, b dan c bilangan bulat positif, maka pangkat dari pembagian bilangan berpangkat akan berlaku

Contoh

a. 2³x 2⁴= 2³⁺⁴= 2⁷

b. = 3^5-2 = 3³

c. (5²)³ = 5^2.3 = 5⁶

Bilangan berpangkat nol

Seperti sifat diatas, akan berlaku a^bx a^c = a^b+c dan a^b: a^c = a^b-c

Contoh

3⁴: 3⁴ = 3^4-4 = 3⁰….(1)

Dapat ditulis

3⁴: 3⁴ = = 1 ….(2)

Dari persamaan 1 & 2 didapat

3⁰ = 1

Untuk setiap a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif akan berlaku:

aⁿ : aⁿ = a^n-n = =1 sehingga berlaku a⁰ = 1

Contoh

Tentukan hasil pemangkatan bilangan – bilangan berikut ini:

a. 3⁵: 3⁵ = 3^5-5= 3⁰ = 1

b. p⁴ : p⁴ = p^4-4 = p⁰ = 1

Bilangan berpangkat negatif

Contoh:

4⁵: 4⁷ = 4^5-7 = 4^-2 ….(1)

Dapat ditulis

4⁵: 4⁷ =

= = = …(2)

Dari persamaan 1 & 2 didapat

4^-2 =

Nyatakan bilangan dibawah ini dengan pangkat negative

a. b. 5^-2 =

Bilangan pecahan berpangkat

Sifat – sifat pemangkatan sebagai berikut

a. aⁿ = a x a x a x …x a e. a^m : aⁿ = a^m-n

n factor

b. a^-n = f. (a x b)ⁿ = aⁿx bⁿ

c. (a^m)ⁿ = a^{m x n}= a^mn

d. a^m x aⁿ = a^m+n g.

Latihan

1. Nyatakan dalam bentuk pangkat negative

a. b.

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif

a. 2^-4 b. 2 . 4^-2

3. Selesaikanlah operasi bilangan berpangkat berikut ini:

a. b.

4. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini:

a. 2³ . 2^-5 b. 3^-3 : 3²

B. Penyederhanaan Bilangan Berpangkat

Untuk menyederhanakan bentuk – bentuk dari bilangan berpangkat dapat kita gunakan sifat – sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat yang sudah kita pelajari sebelumnya.

Contoh

Sederhanakan bentuk bilangan pangkat berikut ini

a. ( )² . ( )^-2 b. (2p^-2)³ : (2p)^-7

C. Bentuk Akar

1. Konsep bilangan irasional

Contoh :

Di antara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bentuk akar?

a. b. c. d.

Jawab

a. bukan merupakan bentuk akar karena = 6

b. bentuk akar

c. bentuk akar

d. bukan bentuk akar karena = 0,5

2. Sifat – sifat bentuk akar

Jika a dan b sembarang bilangan bulat, maka berlaku:

dan b >0

Contoh

Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut ini

Dengan menggunakan sifat-sifat bentu akar, sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut ini!

a. b. c.

3. Hubungan bentuk akar dengan pangkat tak sebenarnya

Untuk sembarangnilai a dengan a ¹ 0 berlaku:

atau

Bilangan dan disebut bilangan tak sebenarnya

Contoh:

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk bilangan berpangkat!

a. b.

Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk akar!

a. b.

Latihan

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk bilangan berpangkat

a. b.

Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk akar

a. b.

D. Operasi pada Bilangan Bentuk Akar

Perkalian dan pembagian bilangan berpangkat tak sebenarnya

Ingat rumus

a^m x aⁿ = a^m+n dan a^m : aⁿ = a^m-n

Latihan soal

Tentukanlah hasil dari perkalian dan pembagian dari bilangan berpangkat tak sebenarnya dan nyatakan dalam bentuk akar yang paling sederhana

a. b.

Penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat tak sebenarnya

Untuk setiap a, b, dan c bilangan bulat positif akan berlaku

Contoh

Latihan Soal

a. b.

Pemangkatan bilangan berpangkat tak sebenarnya

Akan berlaku sifat . (a^m)ⁿ = a^{m x n}= a^mn

Contoh:

E. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar

Dalam suatu pecahan, adakalanya penyebutnya berbentuk akar.

Contohnya: , , dsb

Penyebut dari pecahan-pecahan diatas dapat diubah menjadi bilangan rasional yaitu dengan cara:

1. Merasionalkan bentuk

Jika ada bilangan bulat dengan a ¹ 0 maka bentuk dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara

Contoh:

2. Merasionalkan bentuk

Untuk merasionalkan pecahan bentuk ini dapat dilakukan dengan mengalikan penyebut dan pembilangnya dengan bilangan yang sama. Bilangan yang sama tersebut merupakan factor sekawan dari bentuk masing-masing penyebutnya.

Factor sekawan dari bentuk-bentuk diatas adalah

adalah sekawan dari

Contoh:

= =

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan bentuk pangkat berikut dalam pangkat bulat positif

a. 8⁵ . 8² b. (3 . 5)² c.

2. Nyatakan bilangan-bilangan dibawah ini dengan pangkat positif:

a. 5^-2 b. (2p)^-4

3. Selesaikan operasi bilangan berpangkat berikut ini!

a. b. . c.

4. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini:

a. (3x)⁶ : (3x)⁸ b.

5. Rasionalkanlah penyebut dari pecahan – pecahan berikut ini!

MODUL APROKSIMASI (PEMBULATAN)

A. PEMBULATAN

1. Pengertian membilang dan mengukur

Hasil membilang adalah sesuatu yang eksak, sedangkan hasil mengukur merupakan pendekatan

Contoh hasil membilang:

Banyaknya kendaraan yang masuk kesebuah terminal
Banyaknya siswa dalam kelas
Banyaknya buku dalam tas

Contoh hasil mengukur:

Tinggi badan calon mahasiswa
Berat badan seorang anak
Luas tanah daratan

2. Aturan Pembulatan

a. Pembulatan kesatuan terdekat

Aturan pembulatan suatu bilangan ke satuan terdekat yaitu:

1. Jika angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5, maka angka didepannya ditambah 1

2. Jika angka berikutnya kurang dari 5, angka ini dihilangkan dan angka didepannya tetap.

Contoh:

1. Rp 14,56

Jika dibulatkan kerupiah terdekat, menjadi Rp15,00

2. 30,34 detik

Jika dibulatkan ke persepuluhan detikyang terdekat, menjadi 30,3 detik

3. 176,53 m

Jika dibulatkan ke meter terdekat, menjadi 177 m

b. Pembulatan ke banyaknya angka – angkadesimal yang diperlukan

Bilangan pendekatan tidak hanya dipakai untuk menyatakan hasil – hasil pengukuran. Kadang – kadang bilangan pendekatan dipakai untuk memudahkan perhitungan, dengan cara membulatkan suatu bilangan decimal sampai kesekian banyak tempat decimal sesuai dengan kebutuhan

Contoh:

1. 8,4072 = 8,407 jika dibulatkan sampai tiga tempat decimal

2. 8,4072 = 8,41 jika dibulatkan sampai dua tempat decimal

3. 8,4072 = 8,4 jika dibulatkan sampai satu tempat desimal

c. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan

Pembulatan ke banyaknya angka signifikan yaitu pembulatan dengan banyaknya angka yang digunakan untuk menyatakan suatu bilangan. Dari 10 angka yang digunakan, angka “0” memiliki perhatian khusus, yaitu diperhitungkan sebagai angka jika digunakan untuk menyatakan pengukuran sampai satuan yang dimaksud.

Contoh:

1. 145,5 m mempunyai 4 angka signifikan

2. 145 m mempunyai 3 angka signifikan

3. 2,40 m

Angka nol menyatakan bahwa panjang telah diukur sampai ke perseratusan meter yang terdekat. Jadi merupakan angka signifikan. Hasil pengukuran ini mengandung 3 angka signifikan.

LATIHAN

1. Bulatkan 675248 ke:

a. puluhan yang terdekat

b. ratusan yang terdekat

c. ribuan yang terdekat

2. Bulatkan sampai satu tempat decimal

a. 7,95

b. 12,63

c. 32,07

3. Tulislah banyaknya angka signifikan pada:

a. 4,125

b. 19,072

c. 1,005

B. KESALAHAN

Kesalahan yaitu selisih antara ukuran sebenarnya dan hasil pengukuran

1. Salah Mutlak

Salah mutlak adalah kesalahan maksimum yang mungkin terjadi. Kesalahan yang sebenarnya mungkin terjadi lebih besar daripada salah mutlak.

Ingat!!!

Salah mutlak = x satuan terkecil

Batas atas pengukuran = hasil pengukuran + salah mutlak

Batas bawah pengukuran = hasil pengukuran – salah mutlak

Contoh:

Hasil pengukuran berat suatu barang 15,8 kg

Satuan pengukuran terkecil = 0,1 kg

Salah mutlak = x 0,1 kg = 0,05 kg

Batas atas pengukuran = 15,8 kg+ 0,05 kg = 15,85 kg

Batas bawah pengukuran = 15,8 kg – 0,05 kg = 15,75 kg

Jadi, kesalahan sebesar-besarnya yang diperkenankan adalah 0,05 kg

2. Salah relative (nisbi)

Ingat!!!

Hasil pengukuran panjang suatu benda adalah 3,7 m. Berapa salah relatifnya?

Jawab

Satuan terkecil = 0,1 m

Salah mutlak = x 0,1m = 0,05 m

Salah relative =

3. Persentase Kesalahan

Ingat!!!

Persentase kesalahan = salah relative x 100%

Contoh:

Berapa persentase kesalahan jika berat emas 45 gram?

Jawab

Satuan ukuran terkecil = 1 gram

Salah mutlak = x 1 gr = 0,5 gram

Salah relative = = 0,0111

Persentase kesalahan = 0,0111 x 100% = 1,11%

4. Toleransi

Toleransi adalah selisih antara pengukuran terbesar yang dapat diterima dan pengukuran terkecil yang dapat diterima

Contoh:

Untuk massa (15 ± 0,5) gr, massa terbesar dan terkecil yang dapat diterima berturut – turut adalah 15,5 gr dan 14,5 gr. Jadi toleransinya 1 gr

C. PENGUKURAN

1. Penjumlahan Hasil Pengukuran

Contoh :

Carilah jumlah maksimum dan minimum dari hasil – hasil pengukuran 10 cm dan 12 cm

Jawab :

Panjang pertama terletak dalam jangkauan (10 ± 0,5) cm, yaitu 9,5 dan 10,5

Panjang kedua terletak dalam jangkauan (12 ± 0,5), yaitu 11,5 cm dan 12,5 cm

Panjang maksimum = (10,5 + 12,5)cm = 23 cm

Panjang minimum = (9,5 + 11,5)cm = 21 cm

Ternyata jumlah sebenarnya 22 cm dan mempunyai salah mutlak 1 cm

2. Pengurangan Hasil Pengukuran

Contoh:

Berapakah salah mutlak dari pengurangan hasil pengukuran 8cm dan 5cm jika tiap pengukuran dibulatkan ke cm terdekat?

Jawab

8 cm, batas atas 8,5 cm

batas bawah 7,5 cm

5 cm, batas atas 5,5 cm

batas bawah 4,5 cm

Selisih maksimum 8,5 – 4,5 = 4

Selisih minimum 7,5 – 5,5 = 2

Salah mutlaknya adalah 1 cm, sama dengan kesalahan-kesalahan dalam pengukuran asal

3. Perkalian Hasil Pengukuran

Contoh:

Tentukan luas maksimum dan minimum persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 5 cm

Jawab

8 cm, batas atas 8,5 cm

batas bawah 7,5 cm

5 cm, batas atas 5,5 cm

batas bawah 4,5 cm

Luas maksimum (8,5 x 5,5) cm² = 46,75 cm²

Luas minimum (7,5 x 4,5) cm² = 33,25 cm²

LATIHAN SOAL

1. Carilah jumlah maksimum dan minimum dari hasil pengukuran berikut ini!

a. 10 cm dan 8 cm

b. 12 gr dan 17 gr

c. 4,2 m dan 4,8 m

2. Carilah salah mutlak dan salah relative pada pengukuran berikut ini

a. 20 km

b. 3,5 kg

c. 45 detik

3. Carilah persentase kesalahan sampai 2 angka signifikan

a. 25 kg

b. 1,2 kg

c. 25 ton

4. Berikan pengukuran terbesar dan terkecil yang dapat diterima untuk pengukuran berikut ini

a. (12 ± 1) kg

b. (6,3 ± 0,1) detik

c. (76 ± 2) m

5. Carilah toleransinya jika diketahui bahwa pengukuran-pengukuran yang dapat diterima terletak antara:

a. 6 cm dan 8 cm

b. 4,8 cm dan 5,0 cm

c. 27 g dan 29 g

MODUL PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

A. Persamaan linier

Persamaan linier didefinisikan sebagai suatu persamaan yang peubah (variable) dari persamaan tersebutmempunyai pangkat tertinggi sebesar satu. Persamaan linier juga menyatakan hubungan sama dengan (=). Bentuk umum dari persamaan linier diberikan sebagai berikut;

ax + b = 0, dengan a,b R dan a ≠ 0

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x -5 = 2x -7, x bilangan rasional!

Jawab

4x - 5 = 2x – 7

4x – 2x = -7 + 5

2x = -2

x = -1

jadi, himpunan penyelesaian {-1}

B. Pertidaksamaan linier

Pertidaksamaan linier adalah suatu kalimat terbuka yang menggunakan salah satu lambang ketidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari peubah (variable) sebesar satu. Bentuk umum dari pertidaksamaan linier diberikan sebagai berikut:

ax + b > 0 ax + b ≥ 0

ax + b < 0 ax + b ≤ 0

dengan a ≠ 0, a, b R

Bentuk – bentuk dari pertidaksamaan linier adalah sebagai berikut ini:

3x – 4 ≥ 8 ; 5 – 2x ≤ 0 ; 2x – 4 ≤ 4x + 5

1. Sifat –sifat pertidaksamaan

a. Apabila kedua ruas dari pertidaksamaan masing – masing ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda dari pertidaksamaan tidak berubah.

Contoh:

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:

5x – 3 > 2x + 12

Jawab

5x – 3 > 2x + 12 → kedua ruas dikurangi 2x

5x – 2x - 3 > 2x – 2x + 12

3x – 3 + 3 > 12 + 3

3x > 15 → kedua ruas dibagi 3

x > 5

Apabila kedua ruas dari pertidaksamaan masing – masing ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi dengan bilangan negative yang sama maka tanda pertidaksamaan berubah.

Contoh:

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:

3x – 6 ≤ 5x + 14

Jawab

3x – 6 ≤ 5x + 14 → kedua ruas dikurangi -5x

3x – 5x - 6 ≤ 5x – 5x + 14

-2x – 6 ≤ 14 → kedua ruas ditambah 6

-2x – 6 + 6 ≤ 14 + 6

-2x ≥ 20 → kedua ruas dibagi -2

x ≥ -10

2. Menyatakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

Garis bilangan adalah garis untuk meletakkan bilangan – bilangan dengan mengingat besar kecilnya bilangan tersebut. Garis bilangan sangat membantu dalam menyatakan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linier.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari 5x – 2 ≤ 8x + 7 dan tunjukkan dengan garis bilangan!

a. x bilangan bulat b. x bilangan real

Jawab

5x – 2 ≤ 8x + 7

5x – 8x ≤ 7 + 2

-3x ≤ 9

x ≥ -3

a. Himpunan penyelesaian = {x|x ≥ -3, x B}

Dengan garis bilangan

b. Himpunan penyelesaian = {x|x ≥ -3, x B}

Dengan garis bilangan

C. Persamaan Kuadrat

1. Pengertian bentuk umum Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari peubah (variable) sebesar dua. Bentuk umum persamaan kuadrat diberikan sebagai berikut: ax² + bx + c = 0 a, b, c bilangan real dengan a ≠ 0.

Jenis-jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh konstanta a, b, c sehingga dapat dikelompokkan menjadi;

a. Persamaan Kuadrat asli (murni) yaitu suatu persamaan kuadrat dengan bentuk ax²+ c = 0;a, c ≠ 0

Misal: 4x² + 9 = 0, 3x² + 25 = 0

b. Persamaan Kuadrat biasa (trivial) yaitu suatu persamaan kuadrat dengan bentuk ax²= 0;a ≠ 0

Misal: 3x² = 0, 5x² = 0

c. Persamaan Kuadrat tak lengkap yaitu suatu persamaan kuadrat dengan bentuk ax² + bx= 0;a, b ≠ 0

Misal: 2x² + 4x = 0

d. Persamaan Kuadrat lengkap yaitu suatu persamaan kuadrat dengan bentuk ax² + bx + c= 0;a, b, c ≠ 0

Misal: x² – 4x – 12 = 0

2. Menentukan himpunan penyelesaian dari Persamaan Kuadrat

Penyelesaian dari persamaan kuadrat yang disebut juga sebagai akar- akar dari persamaan kuadrat adalah akar-akar dari persamaan kuadrat yang akan membentuk suatu himpunan penyelesaian.

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan tiga cara:

a. Memfaktorkan (faktorisasi)

Langkah – langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan adalah sebagai berikut:

1. Persamaan kuadrat diubah dalam bentuk ax² + bx + c = 0

2. Dari bentuk ax² + bx + c = 0, a ≠ 0:

Misalkan x₁ dan x₂ merupakan bilangan yang berlaku x₁x₂ = a . c dan x₁+x₂ = b, maka bentuk factor dari persamaan kuadrat diatas adalah:

(x + x₁) (x + x₂) = 0

Maka x = -x₁ atau x = -x₂ merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 5x + 6 = 0!

Jawab:

a = 1 b = -5 c = 6

ambil dua bilangan x₁ dan x₂

x₁ + x₂ = 1 -3 + (-2) = -5

x₁ . x₂ = -2 -3 . (-2) = 6

jadi, bentuk faktornya adalah (x – 3)(x – 2) = 0

x₁ = 3, x₂ = 2

Himpunan Penyelesaiannya {3,2}

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna dapat dilakukan dengan cara mengubah persamaan kuadrat tersebut ke dalam bentuk:

(x ± p)² = q dengan q ≥ 0 dengan: (x ± p)² = x²± 2px + p²

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat

x² + 2x – 8 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!

Jawab:

x² + 2x – 8 = 0

x² + 2x = 8

Untuk membentuk ruas kiri menjadi kuadrat sempurna, kedua ruas ditambah dengan kuadrat dari koefisien dari variable x yaitu:

sehingga menjadi:

x² + 2x + 1 = 8 + 1

(x + 1)² = 9

x + 1 = ±

x + 1 = ± 3

x₁ = 3 -1 atau x₂ = -3 -1

x₁ = 2 atau x₂ = -4

jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2, -4}

c. Menggunakan Rumus Kuadrat (abc)

Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c Î R dan a ≠ 0 dapat diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna dari persamaan kuadrat tersebut. Perhatikan!!!

ax² + bx + c = 0

ax² + bx = -c

(kedua ruas dikalikan )

( ax² + bx) = x (-c)

kedua ruas ditambah

contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 7x +10 = 0!

Jawab:

x² – 7x +10 = 0

a = 1 b = -7 c = -10

Rumus: x_1,2 =

x₁ =

x₂ =

jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {5,2}

3. Jenis – jenis akar – akar Persamaan Kuadratbilangan real dengan a ≠ 0

Dari bentuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 berdasarkan rumus abc persamaan kuadrat tersebut akar-akarnya adalah

x_1,2 =

Nilai b² – 4ac disebut diskriminan. Ada 3 macam nilai diskriminan yang masing-masing menunjukkan jenis-jenis akar persamaan kuadrat yaitu:

a. jika D > 0, maka persamaan kuadrat itu memiliki dua akar real dan berlainan

b. jika D = 0, maka persamaan kuadrat itu memiliki dua akar real kembar

c. jika D < 0, maka persamaan kuadrat itu memiliki akar imajiner

contoh:

Tentukan jenis akar persamaan kuadrat berikut ini: 4x² + 3x – 6 = 0

Jawab:

4x² + 3x – 6 = 0

a = 4 b = 3 c = -6

D = b² - 4ac

= 3² – 4. (4). (-6)

= 9 + 96

= 105 (positif)

karena D > 0 maka kedua akarnya nyata dan berlainan.

4. Rumus jumlah dan hasil kali akar – akar Persamaan Kuadrat

a. jumlah akar-akar persamaan kuadrat

berlaku: x₁ + x₂ =

b. jumlah kali akar-akar persamaan kuadrat

berlaku: x₁ + x₂=

Dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, dapat dibentuk rumus yang lain yaitu:

Bukti:

yaitu:

Disamping rumus diatas tanpa memberikan penurunan rumusnya dapat diperoleh rumus-rumus sbb:

contoh:

jika x₁ dan x₂merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat

x² + 4x – 8 = 0, tentukan nilai dari:

a. x₁ + x₂ dan x₁. x₂ b.

jawab:

x² + 4x – 8 = 0

a = 1 b = 4 c = -8

a. x₁ + x₂ =

x₁ . x₂ =

= (-4)² – 2 (-8)

= 16 + 16

= 32

5. Menyusun Persamaan Kuadrat baru

a. Menggunakan persaman kuadrat dengan perkalian baru

Apabila persamaan kuadarat mempunyai akar-akarnya x₁ dan x₂, maka persamaan kudratnya dapat diperoleh dengan cara:

(x – x₁)(x –x₂) = 0

contoh:

Diketahui akar-akarnya 3 dan -2, susunlah dalam persamaan kuadrat baru!

Jawab:

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x² – 3x + 2x - 6 = 0

x² – x – 6 = 0

b. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat: ax² + bx + c = 0 dapat dinyatakan dengan yang diperoleh dengan cara membagi kedua ruas dari persamaan dengan a.

Berdasarkan rumus diatas, maka persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk:

x² – (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

contoh:

Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 2 dan -3!

Jawab:

Jumlah akar = 2 + (-3) = -1

Hasil kali akar = 2 . (-3) = -6

x² – (jumlah akar)x + (hasil kali akar) = 0

x² – (-1)x + (-6) = 0

x² + x -6 = 0

D. Pertidaksamaan Kuadrat

1. Pengertian pertidaksamaan kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang bentuk umumnya dapat ditulis sebagai berikut:

a. ax² + bx + c > 0

b. ax² + bx + c ³ 0

c. ax² + bx + c < 0

d. ax² + bx + c £ 0 dengan a, b, c Î R dan a = 0

2. Sifat-sifat pertidaksamaan kuadrat

Sifat-sifat pertidaksamaan kuadrat antara lain:

a. Apabila pertidaksamaan diketahui bertanda “>” atau “³” maka daerah penyelesaiannya adalah berharga positif

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 2x – 8 ³ 0!

Jawab:

x² + 2x – 8 ³ 0

(x + 4) (x – 2) ³ 0

x₁ = -4 x₂ = 2

Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah

Daerah yang berharga positif adalah x £ -4 atau x ³ 2 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x² + 2x – 8 ³ 0

b. Apabila pertidaksamaan diketahui bertanda “<” atau “£” maka daerah penyelesaiannya adalah berharga negative

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 2x – 24 < 0

Jawab:

x² – 2x – 24 < 0

(x -6)(x +4) < 0

x₁ = 6 x₂ = -4

Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah

Daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x² – 2x – 24 < 0

3. Menentukan himpunan penyelesaian

Himpunan menyelesaikan dari pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan langkah-langkah sbb:

a. Semua suku dipindahklan ke ruas kiri, sehingga ruas kanan menjadi nol

b. Tentukan akar-akar pertidaksamaan tersebut dengan cara memfaktorkan

c. Dari akar-akar yang diperoleh, letakkan akar-akar tersebut ke garis bilangan

d. Tentukan tanda daerah dari garis bilangan, dengancara mengambil harga x ( kecuali harga akar-akar) ke pertidaksamaan

e. Lihat tanda pertidaksamaan dalam soal

Jika tandanya ³ atau >, maka yang diminta daerah positif

Jika tandanya £ atau <, maka yang diminta daerah negative

E. System persamaan linier

System persamaan linier adalah suatu system persamaan yang peubah-paubahnya berpangkat satu. System persamaan l;inier dua dan tiga peubah dapat diselesaikan dengan berbagai macam cara diantaranya adalah subtitusi, eliminasi, gabungan antara eliminasi substitusi, dan determinan matriks

1. Sistem persamaan linier dua perubah

Bentuk umum system persamaan linier adalah sbb:

dengan a_1,a_2, b₁, b₂, c₁, dan c₂ merupakan konstanta

Jika c₁ = 0, c₂ = 0, maka system persamaan disebut persamaan homogen, akan tetati jika c₁ ¹ 0 atau c₂ ¹ 0, maka system persamaan disebut persamaan nonhomogen.

Contoh:

Persamaan linier homogen

3x + y = 0 x + 5y = 0 2x + 6y = 0

Persamaan linier nonhomogen

2x – y = 6 4x + 2y = 8 3x + 2y = 12

Seperti ynag telah dijelaskan bahwa system linier dapat diselesaikan dengan berbagai macam cara:

a. Metode substitusi

Contoh:

Tentukan HP dari system persamaan berikut dengan cara substitusi

4x +3y = 24 …(i)

8x + 2y = 16…(ii)

Jawab

Persaamaan (i) Þ 4x + 3y = 24

3y = 24 – 4x

y =

Dari y = , substitusikan ke persamaan (ii)

8x -2y = 16

8x - 2 dikalikan 3

24x – 48 +8x = 48

32x = 96

x = 3

Untuk mencari nilai y, substitusikan x = 3 ke y =

y =

jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3,4}

b. Metode eliminasi

Eliminasi artinya menghilangkan satu peubah dari system persamaan linier dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan dalam suatu system persamaan.

Contoh:

Tentukan HP dari system persamaan berikut dengan eliminasi

2x + 3y – 2 = 0…(i)

4x – 2y – 12 = 0…(ii)

jawab:

2x + 3y = 2 çx 2 ê4x + 6y = 4

4x – 2y = 12 ÷ x1ú 4x – 2y = 12

8y = -8

y = -1

Untuk mencari harga x Þ kita hilangkan y dengan cara sebagai berikut:

2x + 3y = 2 çx 2 ê4x + 6y = 4

4x – 2y = 12 ÷ x3ú 12x – 6y = 36

16x = 40

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2 ,-1}

c. Metode gabungan eliminasi substitusi

Metode ini sering digunakan untuk menyelesaikan system persamaan linier dua peubah.

Contoh:

Tentukan HP dari system persamaan berikut ini!

2x + 3y – 1 = 0

3x +y – 5 = 0

Jawab:

2x + 3y – 1 = 0 Þ 2x + y = 1….(i)

3x +y – 5 = 0 Þ 3x + y = 5 ….(ii)

2x + y = 1÷ x 1 ê2x + 3y = 1

3x + y = 5 ç x 3 ê9x + 3y = 15

-7x = -14

x = 2

Untuk mencari nilai y, substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (i) atau (ii)

x = 2 Þ 2x +3y = 1

2(2) + 3y = 1

4 + 3y = 1

3y = 1 – 4

3y = -3

y = -1

jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2, -1}

2. Sistem persamaan linier tiga perubah

Bentuk umum system persamaan linier adalah :

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

dengan a_1,a_2,a_3;b_1,b_2,b_3;c_1,c_2, c₃ dan d_1,d_2,d₃ merupakan konstanta

Persamaan linier tiga perubah dapat dilakukan dengan metode substitusi, eliminasi, eliminasi substitusi dan determinan.

a. Menyelesaikan system persamaan linier tiga perubah dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi

latihan!

Tentukan HP dari sistem persamaan berikut ini dengan metode gabungan antara eliminasi dan substitusi!

2x + y + z = 7

x + 3y + 2z = 13

3x + y + 2z = 11

b. Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah dengan Metode determinan

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Berdasarkan sistem persamaan linier tiga peubah diatas, maka dapat diperoleh dengan cara sbb:

D = , maka nilainya:

D =

D_x = ,maka nilainya:

D_x =

D_y= ,maka nilainya:

D_y =

D_z = ,maka nilainya:

D_z =

Berdasarkan nilai-nilai determinan diatas, himpunan penyelesaiannya dapat diperoleh dengan cara:

F. System persamaan dengan Dua Variabel, Satu linier dan Satu Kuadrat

Sistem persamaan linier dengan dua peubah dengan dua persamaan, satu linier dan satu kuadrat diberikan dalam bentuk umum sbb:

px + qx +r = 0 …. Bentuk linier

ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 …. Bentuk kuadrat dengan a, b, c, d, e, f,

p, q, r bilangan real.

Contoh:

Tentukan HP dari sistem persamaan berikut ini:

x² – y² = 29

x + 2y = 8

jawab:

x² – y² = 29…(i)

x + 2y = 8 …(ii)

Dari persamaan (ii) dapat diubah x + 2y = 8

x = 8 – 2y …(iii)

Kemudian persamaan (iii) disubstitusikan kepersamaan (i)

x² + y² = 29

(8 – 2y)² + y²= 29

64 – 32y + 4y² + y² = 29

5y²– 32y + 64 – 29 = 0

5y² -32y +35 = 0

(5y – 7)(y – 5) = 0

y₁ = = y₂ = 5

nilai y₁ = dan y₂ = 5 masuk kepersamaan (iii)

x₁ = 8 – 2y₁

= 8 - 2

x₂ = 8 – 2y₂

= 8 – 2 . 5

= 8 – 10 = -2

jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5 , 1 ), (-2, 5)}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x² + 4x – 4 = 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x² – 12 x – 9 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari !

4. Diketahui persamaan kuadrat (p + 3)x² – 4x + (p + 5) dengan akar-akarnya x₁ dan x₂. jika x_{1 .} x₂ = maka hitunglah nilai p!

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan metode determinan!

2x + 4y + 2z = 0

-x + y – z = -6

2x – 3y + z = 1

MODUL LOGARITMA

Artikel Menarik Lainya :

1 komentar:

Arsip Blog

Advertisment