Logaritma

KETENTUAN
aP = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . sampai p faktor
(a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen)

SIFAT-SIFAT
1. ap . aq = ap + q 5. a0 = 1
2. ap . aq = ap - q 6. a - p = 1/ap
3. (ap)q = apq 7. am/n = n(am)
4. (a.b)p = ap . bp

contoh:
1. 3pq+q . 32p)/(3pq+p . 32q) = (3pq+q+2p)/(3pq+p+2q) = 3p-q
2. (0,0001)-1 0,04 = (10-4)-1(0,2) = (104)(0,2) = 2000
3. (0,5)2 + 1/532 + 30,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25
[ket : 32 = 25 ; 0,125 = (0,5)3 ]
4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka

2p-1/2 - 3p0 + q4/3 = 2(24)-1/2 - 3(24)0 + (33)4/3
= 2(2-2) - 3(1) + 34 = 2-1 -3(1) + 81
= 1/2 - 3 + 81 = 78 1/2
Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah).
[Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].

BENTUK-BENTUK
A. af(x) = ag(x)  f(x) = g(x)

 Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.
contoh :
2 SUKU  SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI
1. 82x-3) = (32x+1)1/4
(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4
2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4
(6x-9)/2 = (5x-5)/4
24x-36 = 10x+10
14x = 46
x = 46/14 = 23/7
2. 3x²-3x+2 + 3x²-3x = 10
3².3x²-3x+3x²-3x = 10
9. 3x²-3x + 3x²-3x = 10
10. 3x²-3x = 10
3x² - 3x = 30
x² - 3x = 0
x(x-3) = 0
x1 = 0 ; x2 = 3
3 SUKU  GUNAKAN PEMISALAN
1. 22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0
22.22x - 22.2x + 1 = 0
Misalkan : 2x = p
22x = (2x)² = p²
4p² -4p + 1 = 0
(2p-1)² = 0
2p - 1 = 0
p =1/2
2x = 2-1
x = -1
2. 3x + 33-x - 28 = 10
3x + 33/3x - 28 = 10
misal : 3x = p
p + 27/p - 28 = 0
p² - 28p + 27 = 0
(p-1)(p-27) = 0
p1 = 1  3x = 30
x1 = 0
p2 = 27  3x = 33
x2 = 3
B. af(x) = bf(x) f(x) = 0
Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.
Contoh:
1. 3x²-x-2 = 7x²-x-2
x² - x -2 = 0
(x-2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = -1
C. af(x) = bf(x)  f(x) log a = g(x) log b
Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.
Contoh:
1. 4x-1 = 3x+1
(x-1)log4 = (x+1)log3
xlog4 - log4 = x log 3 + log 3
x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4
x (log4 - log3) = log 12
x log 4/3 = log 12
x log 4/3 = log 12
x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12
D. f(x) g(x) = f(x) h(x)

Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan.
1. Pangkat sama g(x) = h(x)
2. Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1
3. Bilangan pokok f(x) = -1
Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai
pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.

ket :
g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1
g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1
4. Bilangan pokok f(x) = 0
Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.

ket : g(x) dan h(x) positif  0g(x) = 0h(x) = 0
Contoh:
(x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3
1. Pangkat sama
3x - 2 = 2x + 3  x1 = 5
2. Bilangan pokok = 1
x² + 5x + 5 = 1
x² + 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0 x2 = 1 ; x3 = 4
3. Bilangan pokok = -1
x² - 5x + 5 = -1
x² - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 x = 1 ; x = 4

g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4  (-1)7
g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1
4. Bilangan pokok = 0
x² - 5x + 5 = 0  x5,6 = (5 ± 5)/2

kedua-duanya memenuhi syarat, karena :
g(2 1/2 ± 1/2 5) > 0
h(2 1/2 ± 1/2 5) > 0

Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :
HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 5}
Bilangan Pokok a > 0  1
Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1 0 < a < 1 af(x) > ag(x)  f(x) > g(x)
af(x) < ag(x) f(x) < g(x) (tanda tetap) af(x) > ag(x)  f(x) < g(x) af(x) < ag(x)  f(x) > g(x)
(tanda berubah)
Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1. Misal : 1/8 = (1/2)3 = 2-3 Contoh: 1. (1/2)2x-5 < (1/4)(1/2x+1) (1/2)2x-5 < (1/2)2(1/2x+1) Tanda berubah (0 < a < 1) 2x - 5 > x +2
x > 7
2. 32x - 4.3x+1 + 27 > 0
(3x)² - 4.31.3x + 27 > 0
misal : 3x = p
p² -12p + 27 > 0
(p - 9)(p - 3) > 0

p < 1 atau p > 9
3x < 31 3x > 3²
x < 1 atau x > 2
BATASAN
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.
a log b = c ac = b mencari pangkat
Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a  1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma
Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :
alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n

SIFAT-SIFAT
1. alog bc = alogb + alogc
2. alog bc = c alog b
3. alog b/c = alog b -alog c Hubungan alog b/c = - a log b/c
4. alog b = (clog b)/(clog a) Hubungan alog b = 1 / blog a
5. alog b. blog c = a log c
6. a alog b = b
7. alog b = c aplog bp = c  Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b
Keterangan:
1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya 10log 7 ]
2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x
Contoh:
1. Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !
syarat : numerus > 0
x² -4x - 5 < 0 (x-5)(x+1) < 0 -1 < x < 5 2. 3. Sederhanakan 2 3log 1/9 + 4log 2 = 2(-2) + 1/2 = 3log 2. 2log 5 .52log 3 3log 2.2log 5. 5²log3 - 3 1/2 = -3 1/2 = -7 3log 31/2 1/2 4. Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 ! 9log 8 = n 3²log 2³ = n 3/2 3log 2 = n 3log 2 = 2n 3 4log 3 = 2²log 3 = 1/2 ²log 3 = 1/2 ( 1/(³log 2) ) = 1/2 (3 / 2n) = 3/4n 5. Jika log (a² / b4) Tentukan nilai dari log ³(b²/a) ! log (a²/b4) log (a/b²)² 2 log ( a/b²) log ( a/b² ) log ³(b²/a) = -24 = -24 = -24 = -12 = log (b²/a)1/3 = 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) = 4 Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Masalah : Menghilangkan logaritma alog f(x) = alog g(x)  f(x) = g(x) alog f(x) = b  f(x) =ab f(x)log a = b  (f(x))b = a Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0  1 dan numerus > 0 )
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !
1. xlog 1/100 = -1/8
x-1/8 = 10-2
(x -1/8) -8 = (10-2)-8
x = 10 16
2. xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
3 xlog 3 = 6
xlog 3 = 2
x² = 3  x = 3 (x>0)
3. xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4
4. ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal : ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0

p1 = 3
²log x = 3
x1 = 2³ = 8

p2 = -1
²log x = -1
x2 = 2-1 = 1/2
Bilangan pokok a > 0  1
Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1 0 < a < 1 a log f(x) > b  f(x) > ab
a log f(x) < b  f(x) < ab (tanda tetap) a log f(x) > b  f(x) < ab a log f(x) < b  f(x) > ab
(tanda berubah)
syarat f(x) > 0

Contoh:
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan
1. ²log(x² - 2x) < 3 a = 2 (a>1)  Hilangkan log  Tanda tetap


- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4 a. x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4 b. syarat : x² - 2 > 0
x(x-2) > 0
x < 0 atau x > 2

2. 1/2log (x² - 3) < 0 a = 1/2 (0 < a < 1)  Hilangkan log  Tanda berubah x < - 2 atau x > 2
a. (x² - 3) > (1/2)0
x² - 4 > 0
(x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2
b. syarat : x² - 3 > 0
(x - 3)(x + 3) > 0
x < 3 atau x > 3
Salah satu definisi menyebutkan bahwa statistik adalah metode ilmiah untuk menyusun, meringkas, menyajikan dan menganalisa data, sehingga dapat ditarik suatu kesimpulan yang benar dan dapat dibuat keputusan yang masuk akal berdasarkan data tersebut.
Jika suatu kesimpulan data sudah dihimpun, pada statistika deskriptif kita hendak menyimpulkan data itu dalam beberapa hal. Pertama kita hendak membuat tabel, misalnya tabel frekuensi, tabel frekuensi kumulatif dan lain-lain yang mengatur data kasar itu. Juga kita akan melihat diagram atau grafik yang dapat memberi gambaran mengenai keseluruhan data itu, misalnya diagram lambang (piktogram), diagram batang, diagram lingkaran, histogram, ogive dan lain-lain. Kemudian kita hendak menghitung karakteristik data yang dapat mencakup semua data itu, misalnya rata-rata, median, modus dan lain-lain.

HISTOGRAM dan POLIGON FREKUENSI adalah dua grafik yang menggambarkan distribusi frekuensi.
HISTOGRAM terdiri dari persegi panjang yang alasnya merupakan panjang kelas interval, sedangkan tingginya sama dengan frekuensi masing-masing kelas interval.
POLIGON FREKUENSI adalah suatu garis putus putus yang menghubungkan titik tengah ujung batang histogram. Biasanya ditambah dua segmen garis lain yang menghubungkan titik tengah ujung batang pertama dan terakhir dengan titik tengah kelas yang paling ujung dimana frekuensinya bernilai nol.
Contoh:
Buatlah histogram clan poligon frekuensi dari distribusi frekuensi di bawah ini.
Tinggi Frekuensi
151 - 155 5
156 - 160 20
161 - 165 42
166 - 170 26
171 - 175 7
Jumlah 100



Distribusi frekuensi kumulatif dapat digambarkan oleh suaatu grafik yang disebut Poligon Frekuensi Kumulatif atau OGIVE, yang melukiskan frekuensi kumulatip terhadap batas atas kelas.
Contoh:
Tinggi frekuensi
< 150,5 0 < 155,5 5 < 160,5 25 < 165,5 67 < 170,5 93 < 175,5 100 ntuk sekelompok data yang diperoleh, yaitu x1, x2, x3, . . . . . . , x maka dapat ditentukan: A. RATA-RATA (MEAN) (notasi: x dibaca : x bar) _ x = (x1+x2+.....+xn)/n = xi / n =  (fi.xi) / n dimana fi = n ~ B. MEDIAN (notasi: x ) Adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan menurut besarnya. Dengan ketentuan: Jika banyak data ganjil, maka median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. (Data ke (n+1)/2 ) ^ C. MODUS (notasi : x) Adalah nilai data yang sering muncul (mempunyai frekuensi terbesar). Modus dapat ada ataupun tidak ada. Kalaupun ada dapat lebih dari satu. Contoh: Diketahui data 7, 9, 8, 13, 12, 9, 6, 5 n = 8 1. Rata-rata _ x = (5+6+7+8+9+9+12+13)/8 = 8,625 2. Median Data diurutkan terlebih dahulu menjadi 5 6 7 8 9 9 12 13 ~ x = (8+9)/2 = 8,5 3. Modus ^ x = 9 4. RATA-RATA _ x = (fi.xi) x xi fi f = n = titik tengah kelas ke i = ½(batas bawah + batas atas) = frekuensi kelas ke i = jumlah seluruh data 5. MENGHITUNG RATA-RATA DENGAN MENGGUNAKAN RATA-RATA SEMENTARA _ x = xo +  (fi.ui)/n . c xa fi ui n c = rata-rata sementara = frekuensi kelas ke i = simpangan kelas ke i terhadap kelas rata-rata sementara = banyaknya data = interval kelas = panjang kelas = lebar kelas = tepi atas-tepi bawah 6. 7. MEDIAN Median = L2 + 1/2n - (f)2 . c f med L2 (f)2 f med n c = tepi bawah kelas median = jumlah frekuensi kelas yang lebih rendah dari kelas median = frekuensi kelas median = banyaknya data = interval kelas 8. 9. MODUS Modus = Lo + 1/(1+2) Lo 1 2 c = tepi bawah kelas modus = kelebihan frekuensi kelas modus terhadap frekuensi kelas yang lebih rendah = kelebihan frekuensi kolas modus terhadap frekuensi kelas yang lebih tinggi = interval kelas 10. Contoh: Tinggi xi fi ui di fixi fiui fidi 151-155 153 5 -2 -10 725 -10 -50 156-160 158 20 -1 -5 3160 -20 -100 161-165 163 42 0 0 6846 0 0 166-170 168 26 1 5 4368 26 130 171-175 173 7 2 10 1211 14 70 Jumlah 100 16350 10 50 a. Rata-rata _ x =  (fi.xi)/n = 16350 / 100 = 163,5 dengan rata-rata sementara _ x = xo +  (fi.xi)/n . c = 163 + 10/100. 5 = 163 + 0,50 = 163,50 atau _ x = xo +  (fi.di)/n = 163 + 50/100 = 163 + 0,50 Ket: Rata-rata sementara xo biasanya diambil dari titik tengah kolas dimana frekuensinya terbesar. (d=u.c) b. Median = L2 +1/2n - (f)2 . c = 160,5 + ((1/2)(100)-(5+20))/42 . 5 f med = 163, 48 c. Modus = Lo + (d1/(d2+d1)) . c = 160,5 + ((42-20) / (42-20)+(42-26)) . 5 = 163,39 JANGKAUAN (RANGE) Notasi: J Untuk data yang tidak dikelompokkan, jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil. Untuk data yang dikelompokkan, jangkauan adalah selisih antara titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah. KUARTIL Notasi: q Kuartil membagi data (n) yang berurutan atas 4 bagian yang sama banyak. ------|------|-------|------- Q1 Q2 Q3 Q1 = kuartil bawah (1/4n ) Q2 = kuartil tengah/median (1/2n) Q3 = kuartil atas (1/4n ) Untuk data yang tidak dikelompokkan terlebih dahulu dicari mediannya, kemudian kuartil bawah dan kuartil atas. Untuk data yang dikelompokkan rumusan kuartil identik dengan rumusan mencari median. Q1 = L1 + [(1/4n - ( f)1)/fQ1] . c Q3 = L3 + [(3/4n - ( f)3)/fQ3] . c DESIL Notasi: D Desil membagi data (n) yang berurutan atas 10 bagian yang sama besar. (D,, D2, D3, . . . . . . , D9) Di = Li + ((i/10)n - ( f)i)/fi . c PERSENTIL Notasi: P Persentil membagi data (n) yang berurutan atas 100 bagian yang sama besar. (P1, P2, P3, . . . . . . ,P99) Pi = Li +( i/100 n - (f)i)/fi . c Cara mencari Desil dan Persentil identik dengan cara mencari kuartil. SIMPANGAN SIMPANGAN KUARTIL Notasi: Qd (JANGKAUAN SEMI INTERKUARTIL) Qd = (Q3 - Q1) / 2 SIMPANGAN BAKU Notasi: S (STANDAR DEVIASI) S = ((fi(xi-x bar)²)/n) atau CARA CODING ___________________ S =   fidi² / n) - (fidi/n)² __________________ = c  ( fiui² / n) - (fiui/n)² RAGAM (VARIANSI) Notasi: S² KOEFISIEN KERAGAMAN V = S / x bar . 100% Contoh: 1. Data tidak dikelompokkan Diketahui data 95, 84, 86, 90, 93, 88, 97, 98, 89, 94 Data diurutkan terlebih dahulu, menjadi: 84 86 818 89 90 93 94 915 97 98 Q1 = 88 ; Q2 = 90 93 ; Q3 = 95 a. Jangkauan J = 98 - 84 = 14 b. Kuartil Q1=88 ; Q2 = (90+93)/2 = 91,5 ; Q3 = 95 Simpangan kuartil = Qd = (95 - 88) / 2 = 3,5 c. Rata-Rata = (88+86+88+89+90+93+95+97+98)/10 = 91,4 Simpangan baku = (((84-91,4)² + ...... + (98-91,4)²)/10) = 4,72 2. Data dikelompokkan Skor Titik Tengah Frekuensi 50-54 52 4 55-59 57 6 60-64 62 8 65-69 67 16 70-74 72 10 75-79 77 3 80-84 82 2 85-89 87 1 n = 50 a. Jangkauan = Titik tengah kelas tertinggi - Titik tengah kelas terendah = 87-52 =35 b. Kuartil bawah (¼n ) Q1 = 59,5 + ((12,5 - 10)/8 . (5)) = 61,06 Kuartil bawah (¾n ) Q3 = 69,5 + (37,5 - 34)/10 . 5 = 71,25 Simpangan Kuartil Qd = (Q3 - Q1) / 2 = (71,25 - 61,06) / 2 = 5,09 c. Rata-rata _ x = ((4)(52) + (6)(57) + ... + (1)(870) / 50 = 66,4 d. Simpangan Baku ___________________________________ ((52-66,4)² + ...... + (87-66,4)²)/50 = 7,58 CATATAN: 1. Bila pada suatu kumpulan data, setiap data ditambah / dikurangi dengan suatu bilangan, maka: - nilai statistik yang berubah: Rata-rata, Median, Modus, Kuartil. - nilai statistik yang tetap : J angkauan, Simpangan Kuartil, Simpangan baku. 2. Bila pada suatu kumpulan data, setiapp data dikali ldibagi dengan suatu bilangan, maka: semua nilai statistiknya berubah. Notasi Faktorial n ! = n(n - 1) (n -2) ..................3.2. 1. Definisi 0! = 1 PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN) Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n2 cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n1.n2 cara yang berlainan. Contoh: Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7. Jawab: Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan. 5 ratusan 5 puluhan 3 satuan • Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan. • Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan. • Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan. Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur. Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6 Secara Umum Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah : nPk = n! / (n-k) ! Contoh: Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. Jawab: Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong. Maka banyaknya cara duduk ada : 7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara Permutasi Siklis Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan. Contoh: Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan? Jawab: Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 !  6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara. Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya. nCk = n! / k!(n-k)! Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd. Contoh: Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih. Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga a. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih. b. Keempat bola tersebut warnanya lama. Jawab: a. Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara. Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2  = 150 cara. b. 4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih. Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4 cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C6 cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20 cara. inonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus : (x+y)n = nC0Xn + nC1Xn-1y + ....... + nCnyn Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap. nCo = 1 nC1 = n!/1!(n-1)! = n nC2 = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2 nCn-1 = nC1 = n/1 = n nCn = 1 Catatan: • banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1 • rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut : n n (x+y)n =  nCk xn-k yk = (n!/ k! (n-k)!) xn-k yk k=0 k=0 • Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal DEFINISI Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin. P(A) = k / n Dimana k : jumlah terjadinya kejadian A n : jumlah seluruh yang mungkin Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel Contoh: 1. Percobaan melempar uang logam 3 kali. A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut. Maka : S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb} A = {mmb, bmm} n(S) = 23 = 8 n(A) = 2 P(A) = 2/8 = 1/4 2. Percobaan melempar dadu satu kali. A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap. Maka : S = {1,2,3,4,5,6} A = {2,4,6} n(S) = 6 n(A) = 3 P(A) = 3/6 = 1/2 Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku _ P(A) + P(A) = 1 Contoh: Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King? Jawab: P (King) = 4/52 = 1/13 P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13 DEFINISI Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika P(AB) = P(A). P(B) Contoh: Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam. Sebuah bola diambil dari masing-masing tas. a) Keduanya berwarna putih b) Keduanya berwama hitam Jawab: Misal A = bola putih dari tas I B = bola putih dari tas II P(A) = 4/6 P(B) = 3/8 _ _ P(A) = 2/6 P(B) = 5/8 a. P(AB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4 _ _ _ _ b. P((A)  P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24 DEFINISI Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku : P (AUB) = P(A) + P(B) Contoh: Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p). Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)} n(S) - (6)2 = 36 A : Kejadian muncul m + p = 6  {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)} n(A) = 5 B : Kejadian muncul m + p = 10  {(4,6), (5,5), (6,4)} n(B) = 3 P(A) = 5/36 P(B) = 3/36 AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10  { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) } n(AUB) = 8 P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang saling asing. DEFINISI Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) Contoh: Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6} A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil = { 1, 3, 5 }  n(A) = 3/6 B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima = {2, 3, 5}  n(B) = 3/6 P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang tidak saling asing. BARISAN adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu. Suku-suku suatu barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli) Contoh: 1. Un = 2n - 1 adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n  N = {1,2,3,.....} Barisan itu adalah : 1,3,5,7,.... 2. Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9 Rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 1/3n • BARISAN ARITMATIKA U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1 Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ............., Un Rumus Suku ke-n : Un = a + (n-1)b = bn + (a-b)  Fungsi linier dalam n • DERET ARITMATIKA a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika. a = suku awal b = beda n = banyak suku Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b] = 1/2bn² + (a - 1/2b)n  Fungsi kuadrat (dalam n) Keterangan: 1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn") 2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0 3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn" 4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst. 5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt Ut = Sn / n 6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b 7. BARISAN GEOMETRI U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r) Rasio r = Un / Un-1 Suku ke-n barisan geometri a, ar, ar² , .......arn-1 U1, U2, U3,......,Un Suku ke n Un = arn-1  fungsi eksponen (dalam n) 8. DERET GEOMETRI a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku Jumlah n suku Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1  Fungsi eksponen (dalam n) Keterangan: 1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap 2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > Un-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1 Bergantian naik turun, jika r < 0 4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah _______ __________ Ut =  U1xUn = U2 X Un-1 dst. 6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar 9. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + ..............................   Un = a + ar + ar² ......................... n=1 dimana n  dan -1 < r < 1 sehingga rn  0 Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat : Jumlah tak berhingga S = a/(1-r) Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1 Catatan: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ................. Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²) Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r² Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r PENGGUNAAN Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal) M0, M1, M2, ............., Mn M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0 M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0 . . . . Mn =M0 + P/100 (n) M0  Mn = {1 + P/100 (n) } M0 Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir) M0, M1, M2, .........., Mn M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0 M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0 = (1 + P/100)² M0 . . . Mn = {1 + P/100}n M0 Keterangan : M0 = Modal awal Mn = Modal setelah n periode p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode Catatan: Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).
EFINISI
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.
A= a b c 
ttt d e f 
Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A

ORDO
ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.
A= a b c 
ttt d e f  ordo matriks A2x3
Banyaknya baris = 2 ; baris 1 : a b c ; baris 2 : a b c
Banyaknya kolom = 3
kolom 1 :  a 
ttttttttttt d 
kolom 2 :  b 
ttttttttttt e 
kolom 3 :  c 
ttttttttttt f 
keterangan: A2,1 = elemen baris ke 2 ; kolom ke 1

MATRIKS BUJUR SANGKAR
Banyaknya baris dan kolom matriks adalah sama
A= a b 
ttt c d  A berordo 2

KESAMAAN MATRIKS
Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika
a. Ordonya sama
b. Elemen-elemen yang seletak sama
A B
 4p+q2 =  4 2 
 5p+q 5  7 q+3
q + 3 = 5 q =2
5p + q = 7  p = 1

MATRIKS TRANSPOS
_
Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.
A= a b c 
ttt d e f  2x3
At =  a d 
 b e 
tt t  c f  3x2
PENJUMLAHAN MATRIKS

Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).
A

+ B

= A + B
 a b 
 c d 
 p q 
 r s   a + p b + q 
 c + r d + s 

PENGURANGAN MATRIKS
Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.
A - B = A + (-B)
A

- B

= A - B
 a b 
 c d 
 p q 
 r s   a - p b - q 
 c - r d - s 

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.
A =  a b 
 c d 
 k A =  ka kb 
 kc kd 